Postoji novi način brojanja prostih brojeva

Ali to nije bilo očito. Morali bi analizirati poseban skup funkcija, zvanih zbrojevi tipa I i tipa II, za svaku verziju svog problema, a zatim pokazati da su zbrojevi bili ekvivalentni bez obzira na ograničenje koje su koristili. Tek tada bi Green i Sawhney znali da mogu zamijeniti grube proste brojeve u svoj dokaz bez gubitka informacija.

Ubrzo su došli do spoznaje: mogli su pokazati da su iznosi ekvivalentni pomoću alata s kojim se svaki od njih samostalno susreo u prethodnom radu. Alat, poznat kao Gowersova norma, razvio je matematičar desetljećima ranije Timothy Gowers za mjerenje koliko je funkcija ili skup brojeva slučajna ili strukturirana. Na prvi pogled, činilo se da Gowersova norma pripada potpuno drugom području matematike. “Gotovo je nemoguće reći kao autsajder da su te stvari povezane”, rekao je Sawhney.

Ali koristeći značajan rezultat koji su matematičari dokazali 2018 Terence Tao i Tamar ZieglerGreen i Sawhney pronašli su način da uspostave vezu između Gowersovih normi i zbrojeva tipa I i II. U biti, morali su upotrijebiti Gowersove norme kako bi pokazali da su njihova dva skupa prostih brojeva – skup izgrađen pomoću grubih prostih brojeva i skup izgrađen pomoću pravih prostih brojeva – dovoljno slični.

Kako se pokazalo, Sawhney je znao kako to učiniti. Ranije ove godine, kako bi riješio nepovezani problem, razvio je tehniku ​​za usporedbu skupova pomoću Gowersovih normi. Na njegovo iznenađenje, tehnika je bila dovoljno dobra da pokaže da dva skupa imaju iste zbrojeve tipa I i II.

Imajući to u ruci, Green i Sawhney dokazali su Friedlanderovu i Iwaniecovu pretpostavku: Postoji beskonačno mnogo prostih brojeva koji se mogu napisati kao str² + 4q². Naposljetku, uspjeli su proširiti svoj rezultat kako bi dokazali da postoji beskonačno mnogo prostih brojeva koji također pripadaju drugim vrstama obitelji. Rezultat označava značajan napredak u vrsti problema gdje je napredak obično vrlo rijedak.

Što je još važnije, rad pokazuje da Gowersova norma može djelovati kao moćan alat u novoj domeni. “Budući da je tako nov, barem u ovom dijelu teorije brojeva, postoji potencijal za učiniti hrpu drugih stvari s njim”, rekao je Friedlander. Matematičari se sada nadaju da će još više proširiti opseg Gowersove norme – pokušati je upotrijebiti za rješavanje drugih problema u teoriji brojeva izvan brojanja prostih brojeva.

“Jako mi je zabavno vidjeti da stvari o kojima sam razmišljao prije nekog vremena imaju neočekivane nove primjene,” rekao je Ziegler. “To je kao roditelj, kada oslobodite svoje dijete i ono odraste i čini misteriozne, neočekivane stvari.”

Izvorna priča ponovno tiskano uz dopuštenje od Časopis Quantaurednički neovisna publikacija Zaklada Simons čija je misija poboljšati javno razumijevanje znanosti pokrivajući razvoj istraživanja i trendove u matematici te fizikalnim i životnim znanostima.