Funkcija sa zujanjem pila koja je prekinula izračun

Izvorna verzija od ova priča pojavio se u Magazin Quanta.

Calculus je moćan matematički alat. Ali stotinama godina nakon njegovog izuma u 17. stoljeću, stajao je na drhtavom temelju. Njegovi temeljni koncepti ukorijenjeni su u intuiciji i neformalnim argumentima, a ne preciznim formalnim definicijama.

Dvije škole razmišljanja pojavile su se kao odgovor, prema Michael Baranypovjesničar matematike i znanosti na Sveučilištu u Edinburghu. Francuski matematičari bili su u velikoj mjeri da nastave dalje. Više su se bavili primjenom izračuna na probleme u fizici – koristeći ga za izračunavanje putanja planeta, na primjer, ili za proučavanje ponašanja električnih struja. Ali do 19. stoljeća njemački matematičari počeli su srušiti stvari. Oni su namjeravali pronaći kontra-primjere koji bi potkopavali dugotrajne pretpostavke, a na kraju su koristili te kontra-primjere za stavljanje računa na stabilniju i izdržljivu osnovu.

Jedan od tih matematičara bio je Karl Weierstrass. Iako je pokazao ranu sposobnost za matematiku, otac ga je pritiskao da proučava javne financije i administraciju, s ciljem da se pridruži pruskoj državnoj službi. Dosadno svojim sveučilišnim tečajevima, Weierstrass se kaže da je većinu svog vremena proveo pijući i ograde; Krajem 1830 -ih, nakon što nije uspio steći diplomu, postao je učitelj srednje škole, dajući lekcije u svemu, od matematike i fizike do penmanske i gimnastike.

Weierstrass nije započeo karijeru kao profesionalni matematičar sve dok nije imao gotovo 40. godine. Ali nastavio bi transformirati polje uvodeći matematičko čudovište.

Stupovi izračuna

Weierstrass je 1872. objavio funkciju koja je prijetila svemu što su matematičari mislili da razumiju o izračunavanju. Upoznao je ravnodušnost, bijes i strah, posebno iz matematičkih divova francuske škole mišljenja. Henri Poincaré osudio je Weierstrassovu funkciju kao “bijes protiv zdravog razuma.” Charles Hermite to je nazvao “ožalošćenim zloma”.

Da bismo razumjeli zašto je rezultat Weierstrassa bio tako nervozan, pomaže prvo razumjeti dva najosnovnija koncepta u izračunavanju: kontinuitet i različitost.

Kontinuirana funkcija je upravo onako kako zvuči – funkcija koja nema praznine ili skokova. Možete pratiti put od bilo koje točke na takvoj funkciji do bilo koje druge bez podizanja olovke.

Izračun je u velikoj mjeri u određivanju koliko se brzo mijenjaju takve kontinuirane funkcije. Djeluje, lagano govoreći, približavajući određenu funkciju s ravnim, nevertičnim linijama.