Zašto su golubovi u mirovanju u središtu teorije složenosti

Do siječnja 2020. Papadimitriou je već 30 godina razmišljao o principu golubova. Tako je bio iznenađen kad ih je razigrani razgovor s čestim suradnikom doveo do jednostavnog zaokreta na principu koji nikada nisu razmotrili: što ako je manje golubova od rupa? U tom slučaju svaki raspored golubova mora ostaviti prazne rupe. Opet, čini se očiglednim. No, ima li invertiranje principa golubova zanimljivih matematičkih posljedica?

Možda zvuči kao da je ovaj princip “praznih pigeona” samo originalan po drugom imenu. Ali nije, a njegov suptilno drugačiji lik učinio ga je novim i plodnim alatom za razvrstavanje računalnih problema.

Da bismo razumjeli princip praznih pigeona, vratimo se primjeru banke, preneseni s nogometnog stadiona u koncertnu dvoranu s 3000 mjesta-manji broj od ukupnog mogućeg četveroznamenkastih igara. Princip praznih pigeona diktira da neke moguće igle uopće nisu predstavljene. Ako želite pronaći jedan od ovih nedostajućih igara, čini se da nema boljeg načina od samo traženja svake osobe. Do sada je princip praznih pigeona jednako poznatiji kolega.

Razlika je u poteškoćama u provjeri rješenja. Zamislite da netko kaže da su na nogometnom stadionu pronašli dvije specifične osobe koje imaju isti pin. U ovom slučaju, što odgovara originalnom scenariju golubova, postoji jednostavan način da se provjeri tu tvrdnju: samo provjerite s dvije osobe koje su u pitanju. Ali u slučaju koncertne dvorane, zamislite da netko tvrdi da nijedna osoba nema pin od 5926. Evo, nemoguće je provjeriti bez da svi u publici pitaju što je njihov PIN. Zbog toga je princip praznih pigeona mnogo uzbudljiviji za teoretičare složenosti.

Dva mjeseca nakon što je Papadimitriou počeo razmišljati o principu praznih pigeona, iznio ga je u razgovoru s budućim diplomiranim studentima. Živo se sjeća, jer se pokazalo da mu je to posljednji osobni razgovor s bilo kime prije zaključavanja Coid-19. Sljedećim mjesecima, okončao se kod kuće, borio se s implikacijama problema na teoriju složenosti. Na kraju su on i njegovi kolege objavili a papir O problemima pretraživanja za koje je zajamčeno da imaju rješenja zbog principa praznih pigeona. Posebno su ih zanimali problemi u kojima golubovi obiluju – to jest, gdje daleko nadmašuju golubove. U skladu s tradicijom Neugodni akronimi U teoriji složenosti nazvali su ovu klasu problema apepp, za “obilni polinomni princip praznih pigeona”.

Jedan od problema u ovoj klasi nadahnuo je slavni 70-godišnji dokaz od strane pionirskog računalnog znanstvenika Claude Shannon. Shannon je dokazala da je većinu računalnih problema s inherentno teško riješiti, koristeći argument koji se oslanjao na princip praznih pigeonskih rupa (iako ga nije tako nazvao). Ipak, desetljećima su računalni znanstvenici pokušali i nisu uspjeli dokazati da su specifični problemi uistinu teški. Poput nedostajućih igle za banke, teški problemi moraju biti vani, čak i ako ih ne možemo identificirati.

Povijesno gledano, istraživači nisu razmišljali o procesu traženja teških problema kao problema s pretraživanjem koji bi se mogao matematički analizirati. Papadimitriouov pristup, koji je taj postupak grupirao s drugim problemima pretraživanja povezanih s principom praznih pigeona, imao je samoreferencijalni okus karakterističan za mnogo nedavnog rada U teoriji složenosti – ponudio je novi način razmišljanja o poteškoćama u dokazivanju računalnih poteškoća.