Student rješava dugogodišnji problem u vezi s ograničenjima dodavanja

Izvorna verzija od ova priča pojavio se u Magazin Quanta.

Najjednostavnije ideje iz matematike također mogu biti najviše zbunjujuće.

Uzmi dodavanje. To je jednostavna operacija: jedna od prvih matematičkih istina koju saznajemo je da 1 plus 1 jednak je 2., ali matematičari još uvijek imaju mnogo neodgovorenih pitanja o vrstama obrazaca koje dodatak može stvoriti. “Ovo je jedna od najosnovnijih stvari koju možete učiniti”, rekao je Benjamin Bedertdiplomski student na Sveučilištu u Oxfordu. “Nekako je još uvijek vrlo tajanstveno na puno načina.”

Ispitujući ovu misteriju, matematičari se također nadaju da će razumjeti granice dodatne moći. Od početka 20. stoljeća proučavali su prirodu skupova “bez zbroja”-brojeve brojeva u kojima neće dva broja u setu dodati trećinu. Na primjer, dodajte bilo koja dva neparna broja i dobit ćete ravnomjerni broj. Skup neparnih brojeva je, dakle, bez zbroja.

U radu iz 1965. godine, plodni matematičar Paul Erdős postavio je jednostavno pitanje o tome koliko su uobičajeni skupovi bez zbroja. Ali desetljećima je napredak u problemu bio zanemariv.

“To je vrlo osnovno zvučna stvar koju smo imali šokantno malo razumijevanja”, rekao je Julian Sahasrabudhematematičar na Sveučilištu u Cambridgeu.

Do ove veljače. Šezdeset godina nakon što je Erdős postavio svoj problem, Bedert ga je riješio. Pokazao je da je u bilo kojem skupu sastavljenom od cijelih brojeva – pozitivnog i negativnog brojanja – postoji Veliki podskup brojeva koji moraju biti bez zbroja. Njegov dokaz dopire do dubine matematike, tehnike odricanja od različitih polja do otkrivanja skrivene strukture ne samo u setovima bez sumnje, već i u svim vrstama drugih postavki.

“To je fantastično postignuće”, rekao je Sahasrabudhe.

Zaglavio u sredini

Erdős je znao da svaki skup cijelih brojeva mora sadržavati manji podskup bez zbroja. Razmotrite skup 1, 2, 3, koji nije bez zbroja. Sadrži pet različitih podskupina bez zbroja, kao što su 1 i 2, 3.

Erdős je želio znati koliko se ta pojava širi. Ako imate set s milijun cijelih brojeva, koliko je velik njegov najveći podskup bez zbroja?

U mnogim je slučajevima ogromno. Ako nasumično odaberete milijun cijelih brojeva, oko polovice će biti neobično, dajući vam podskupinu bez zbroja s oko 500 000 elemenata.

U svom radu iz 1965. godine, Erdős je pokazao – u dokazu koji je bio dugačak samo nekoliko redaka, a drugi matematičari su ga pozdravili – da je bilo koji skup N cijeli brojevi imaju najmanje podskupinu bez zbroja N/3 elementa.

Ipak, nije bio zadovoljan. Njegov se dokaz bavio prosjecima: pronašao je zbirku podskupina bez zbroja i izračunao da je njihova prosječna veličina bila N/3. Ali u takvoj kolekciji, najveći se podskupini obično smatraju mnogo većim od prosjeka.

ERDőS je želio izmjeriti veličinu tih velikih podskupova bez zbroja.

Matematičari su ubrzo pretpostavili da će, kako vaš set postaje veći, najveći podskupovi bez zbroja postati mnogo veći od N/3. U stvari, odstupanje će rasti beskrajno veliko. Ovo predviđanje-da je veličina najvećeg podskupina bez zbroja N/3 plus neko odstupanje koje raste do beskonačnosti s N-danas je poznat kao pretpostavka o setu bez zbroja.