Ovaj novi oblik poput piramide uvijek sleti s iste strane prema gore

Godine 2023. Domokos – zajedno sa svojim diplomiranim studentima Gergő Almádi i Krisztina Regős, i Robert Dawson Sveučilišta Svete Marije u Kanadi – poprilično je da je doista moguće distribuirati težinu tetraedra tako da će sjediti na samo jednom licu. Barem u teoriji.

Ali Almádi, Dawson i Domokos željeli su izgraditi stvar, zadatak koji se pokazao daleko izazovnijim nego što su očekivali. Sada, u pretintu objavljenom na mreži jučer, predstavili su Prvi rad fizičkog modela oblika. Tetraedron, koji teži 120 grama i mjeri 50 centimetara duž njegove najduže strane, izrađen je od laganog karbonskih vlakana i gustog volframovog karbida. Za rad morao je biti izrađen na razinu preciznosti unutar jedne desetine grama i jedne desetine milimetra. Ali konačna konstrukcija uvijek se okreće na jedno lice, točno onako kako bi trebalo.

Rad pokazuje važnu ulogu eksperimentiranja i igre u istraživačkoj matematici. Također ima potencijalne praktične primjene, poput dizajna svemirskih letjelica za samoodlučaj.

“Nisam očekivao da će više posla izaći na Tetraedra”, rekao je Papp. Pa ipak, dodao je, istraživanje tima omogućava matematičarima da “stvarno cijene koliko nismo znali i koliko je temeljito naše razumijevanje sada.”

Prekrivačka točka

Godine 2022. Almádi, tada dodiplomski studij koji teže postati arhitekt, upisao se na tečaj Domokosovog mehaničara. Nije puno rekao, ali Domokos je u njemu vidio marljivog radnika koji je stalno bio u dubokoj misli. Na kraju semestra, Domokos ga je zamolio da sačinjava jednostavan algoritam kako bi istražio kako tetraedra ravnoteža.

Kad je Conway izvorno postavio svoj problem, njegova jedina opcija bila bi korištenje olovke i papira kako bi, kroz apstraktno matematičko obrazloženje, dokazao da postoji monostalna tetraedra. Bilo bi gotovo zabranjeno teško odrediti konkretan primjer. Ali Almádi, radeći desetljećima kasnije, imao je računala. Mogao je napraviti grubu pretragu kroz ogroman broj mogućih oblika. Na kraju je ALMádijev program utvrdio da su koordinate za četiri vrhova tetraedrona koji bi se, kad je dodijelio određenu raspodjelu težine, mogle učiniti monostabilnim. Conway je bio u pravu.

Almádi je pronašao jedan monostabilni tetraedron, ali vjerojatno je bilo drugih. Koje su svojstva dijelili?

Iako se to može činiti jednostavno pitanje, “izjava poput” tetraedron je monostabilan “ne može se lako opisati jednostavnom formulom ili malim skupom jednadžbi”, rekao je Papp.

Tim je shvatio da bi u bilo kojem monostabilnom tetraedronu tri uzastopna ruba (gdje se susreću parovi lica) trebaju formirati nejasne kutove – naselje koji mjere više od 90 stupnjeva. To bi osiguralo da se jedno lice visi nad drugom, dopuštajući mu da se prevrne.

Matematičari su tada pokazali da se bilo koji tetraedron s ovom značajkom može učiniti monostabilnim ako je njegovo središte mase smješten unutar jedne od četiri “zona punjenja” – što je znatno manjim tetraedralnim regijama unutar izvornog oblika. Sve dok središte mase spada u zonu utovara, tetraedron će uravnotežiti samo na jednom licu.