Novi most povezuje čudnu matematiku beskonačnosti s informatikom

Izvorna verzija od ovu priču pojavio u Časopis Quanta.

Cijela moderna matematika izgrađena je na temeljima teorije skupova, proučavanja kako organizirati apstraktne zbirke objekata. Ali općenito, matematičari istraživači ne moraju o tome razmišljati kada rješavaju svoje probleme. Oni mogu uzeti zdravo za gotovo da se setovi ponašaju onako kako bi očekivali i nastaviti sa svojim poslom.

Izuzetak su deskriptivni teoretičari skupova. Ova mala zajednica matematičara nikad nije prestala proučavati temeljnu prirodu skupova – osobito onih čudnih beskonačnih koje drugi matematičari ignoriraju.

Njihovo polje upravo je postalo puno manje usamljeno. Godine 2023. matematičarka imenovana Anton Bernshteyn objavljeno a duboka i iznenađujuća povezanost između daleke matematičke granice deskriptivne teorije skupova i moderne računalne znanosti.

Pokazao je da se svi problemi o određenim vrstama beskonačnih skupova mogu prepisati kao problemi o tome kako mreže računala komuniciraju. Most koji povezuje discipline iznenadio je istraživače s obje strane. Teoretičari skupova koriste se jezikom logike, informatičari jezikom algoritama. Teorija skupova bavi se beskonačnim, a informatika konačnim. Nema razloga zašto bi njihovi problemi bili povezani, a još manje jednaki.

“Ovo je nešto stvarno čudno”, rekao je Václav Rozhoňinformatičar na Karlovom sveučilištu u Pragu. “Kao, ne bi trebao imati ovo.”

Od Bernshteynova rezultata, njegovi vršnjaci istražuju kako se kretati naprijed-natrag preko mosta da dokažu nove teoreme s obje strane i kako proširiti taj most na nove klase problema. Neki deskriptivni teoretičari skupova čak počinju primjenjivati ​​uvide iz računalne znanosti kako bi reorganizirali krajolik cijelog svog područja i promislili o načinu na koji razumiju beskonačnost.

“Cijelo ovo vrijeme radili smo na vrlo sličnim problemima bez da smo međusobno izravno razgovarali”, rekao je Clinton Conleyteoretičar deskriptivnih skupova na Sveučilištu Carnegie Mellon. “To samo otvara vrata svim ovim novim suradnjama.”

Slomljeni setovi

Bernshteyn je bio student kad je prvi put čuo za deskriptivnu teoriju skupova – kao primjer polja koje je nekoć bilo važno, a zatim se izgubilo. Proći će više od godinu dana prije nego što sazna da je profesor pogriješio.

Godine 2014., kao student prve godine diplomskog studija na Sveučilištu Illinois, Bernshteyn je pohađao tečaj logike kod Anush Tserunyankoji će kasnije postati jedan od njegovih savjetnika. Ispravila je zabludu. “Ona bi trebala preuzeti sve zasluge što sam ja u ovom području”, rekao je. “Stvarno je učinila da se čini da su logika i teorija skupova ovo ljepilo koje povezuje sve različite dijelove matematike.”

Deskriptivna teorija skupova datira još od Georga Cantora, koji je 1874. dokazao da postoje različite veličine beskonačnosti. Skup cijelih brojeva (0, 1, 2, 3, …), na primjer, iste je veličine kao skup svih razlomaka, ali manji od skupa svih realnih brojeva.