Pogledajte Manifold, koncept koji je promijenio način na koji matematičari vide prostor

Izvorna verzija od ovu priču pojavio u Časopis Quanta.

Stojeći usred polja, lako možemo zaboraviti da živimo na okruglom planetu. Toliko smo mali u usporedbi sa Zemljom da s naše točke gledišta izgleda ravna.

Svijet je pun takvih oblika – onih koji izgledaju ravni mravu koji živi na njima, iako bi mogli imati kompliciraniju globalnu strukturu. Matematičari te oblike nazivaju mnogostrukosti. Uveo ih je Bernhard Riemann sredinom 19. stoljeća, mnogostrukosti su promijenile način na koji matematičari razmišljaju o prostoru. To više nije bilo samo fizičko okruženje za druge matematičke objekte, već prije apstraktan, dobro definiran objekt vrijedan proučavanja sam po sebi.

Ova nova perspektiva omogućila je matematičarima da rigorozno istražuju višedimenzionalne prostore – što je dovelo do rođenja moderne topologije, polja posvećenog proučavanju matematičkih prostora poput mnogostrukosti. Mnogostrukosti su također zauzele središnju ulogu u poljima kao što su geometrija, dinamički sustavi, analiza podataka i fizika.

Danas oni matematičarima daju zajednički rječnik za rješavanje svih vrsta problema. Oni su fundamentalni za matematiku kao što je abeceda za jezik. “Ako znam ćirilicu, znam li ruski?” rekao je Fabrizio Bianchimatematičar na Sveučilištu u Pisi u Italiji. “Ne. Ali pokušajte naučiti ruski bez učenja ćirilice.”

Dakle, što su mnogostrukosti i kakvu vrstu rječnika pružaju?

Ideje poprimaju oblik

Tisućljećima je geometrija značila proučavanje objekata u euklidskom prostoru, ravnom prostoru koji vidimo oko sebe. “Sve do 1800-ih, ‘prostor’ je značio ‘fizički prostor’,” rekao je José Ferreirós, filozof znanosti sa Sveučilišta u Sevilli u Španjolskoj – analogno liniji u jednoj dimenziji ili ravnoj ravnini u dvije dimenzije.

U euklidskom prostoru stvari se ponašaju prema očekivanjima: Najkraća udaljenost između bilo koje dvije točke je ravna linija. Zbroj kutova trokuta iznosi 180 stupnjeva. Alati računanja su pouzdani i dobro definirani.

No početkom 19. stoljeća neki su matematičari počeli istraživati ​​druge vrste geometrijskih prostora – one koji nisu ravni, već su zakrivljeni poput kugle ili sedla. U tim prostorima, paralelne linije bi se mogle presijecati. Kutovi trokuta mogu biti veći ili manji od 180 stupnjeva. A računanje može postati puno manje jednostavno.

Matematička zajednica teško je prihvatila (ili čak razumjela) ovu promjenu u geometrijskom razmišljanju.

Ali neki su matematičari željeli progurati te ideje još dalje. Jedan od njih bio je Bernhard Riemann, sramežljivi mladić koji je prvotno planirao studirati teologiju – otac mu je bio pastor – prije nego što ga je privukla matematika. Godine 1849. odlučio je nastaviti doktorat pod mentorstvom Carla Friedricha Gaussa, koji je proučavao intrinzična svojstva krivulja i površina, neovisno o prostoru koji ih okružuje.