“Uglavnom vjerujemo da su sve pretpostavke istinite, ali tako je uzbudljivo vidjeti da je to zapravo shvatilo”, rekao je Ana Caraianimatematičar na Imperial College Londonu. “I u slučaju za koji ste stvarno mislili da će biti izvan dosega.”
To je samo početak lova koji će trajati godinama – matematičari u konačnici žele pokazati modularnost za svaku abelijsku površinu. Ali rezultat je već može pomoći u odgovoru na mnoga otvorena pitanja, baš kao što je dokazivanje modularnosti za eliptične krivulje otvorio sve vrste novih smjerova u istraživanju.
Sadržaj objave
Kroz staklo
Eliptična krivulja posebno je temeljna vrsta jednadžbe koja koristi samo dvije varijable –x i y. Ako oblikovate njegova rješenja, vidjet ćete da su jednostavne krivulje. Ali ta su rješenja međusobno povezana s bogatim i kompliciranim načinima, a pojavljuju se u mnogim najvažnijim pitanjima teorije brojeva. Na primjer, pretpostavka za brezu i Swinnerton-Dyer-jedan od najtežih otvorenih problema iz matematike, s nagradom od milijun dolara za onoga tko to prvo dokaže-odnosi se na prirodu rješenja eliptičnim krivuljama.
Eliptične krivulje mogu se izravno proučiti izravno. Tako im ponekad matematičari radije prilaze iz drugog kuta.
Tamo dolaze modularni oblici. Modularni oblik je vrlo simetrična funkcija koja se pojavljuje u naoko odvojenom području matematičkog studija nazvanog analiza. Budući da pokazuju toliko lijepih simetrija, modularni oblici mogu biti lakše raditi.
U početku se ti predmeti čine kao da ne bi trebali biti povezani. Ali Taylor i Wilesov dokaz otkrio je da svaka eliptična krivulja odgovara određenom modularnom obliku. Imaju određena svojstva uobičajena – na primjer, skup brojeva koji opisuju rješenja eliptične krivulje također će se pojaviti u pripadajućem modularnom obliku. Matematičari stoga mogu koristiti modularne oblike za dobivanje novih uvida u eliptične krivulje.
Ali matematičari misle da je Taylor i Wilesova teorema modularnosti samo jedan slučaj univerzalne činjenice. Postoji mnogo općenitija klasa objekata izvan eliptičnih krivulja. A svi bi ovi objekti također trebali imati partnera u širem svijetu simetričnih funkcija poput modularnih oblika. To je, u osnovi, ono o čemu se radi u programu Langlands.
Eliptična krivulja ima samo dvije varijable –x i y—Po može se grazati na ravnom listu papira. Ali ako dodate drugu varijablu, zdobivate zakrivljenu površinu koja živi u trodimenzionalnom prostoru. Ovaj složeniji objekt naziva se abelijanska površina, a kao i kod eliptičnih krivulja, njezina rješenja imaju ukrašenu strukturu koju matematičari žele razumjeti.
Činilo se prirodnim da abelijeve površine trebaju odgovarati složenijim vrstama modularnih oblika. Ali dodatna varijabla čini ih mnogo težim za konstruiranje i njihova rješenja mnogo teže pronaći. Dokazujući da i oni zadovoljavaju teoremu modularnosti izgledalo je potpuno izvan dosega. “Bio je poznati problem ne razmišljati, jer su ljudi razmišljali o tome i zaglavili su se”, rekao je Gee.
Ali Boxer, Calegari, Gee i Pilloni htjeli su pokušati.
Pronalaženje mosta
Sva četvorica matematičara bila su uključena u istraživanje programa Langlands i željeli su dokazati jednu od tih pretpostavki za “objekt koji se zapravo pojavljuje u stvarnom životu, a ne neku čudnu stvar”, rekao je Calegari.
Ne samo da se abelijske površine pojavljuju u stvarnom životu – stvarnom životu matematičara, to jest – već dokazivanje teorema modularnosti o njima otvorio bi nova matematička vrata. “Mnogo je stvari koje možete učiniti ako imate ovu izjavu koju nemate šanse učiniti drugačije”, rekao je Calegari.
Matematičari su započeli raditi zajedno 2016. godine, nadajući se da će slijediti iste korake koje su Taylor i Wiles imali u svom dokazu o eliptičnim krivuljama. Ali svaki od tih koraka bio je mnogo složeniji za abelijanske površine.
Stoga su se usredotočili na određenu vrstu abelijeve površine, nazvane obična abelijanska površina, s kojom je bilo lakše raditi. Za bilo koju takvu površinu postoji skup brojeva koji opisuje strukturu njegovih rješenja. Ako bi mogli pokazati da bi isti skup brojeva mogao biti izvedeno i iz modularnog oblika, oni bi bili učinjeni. Brojevi bi poslužili kao jedinstvena oznaka, omogućavajući im da uparuju svaku svoju abelijansku površinu s modularnim oblikom.