Novi dokazi proširuju granice onoga što se ne može znati

Drugim riječima, Hilbertov 10. problem je neodređen.

Matematičari su se nadali da će slijediti isti pristup kako bi dokazali proširenu verziju problema s prstenima imetega-ali pogodili su snagu.

Gumirajući radove

Korisna korespondencija između Turingovih strojeva i diofantinskih jednadžbi raspada kada je jednadžba dopuštena da imaju neintegerska rješenja. Na primjer, razmotrite ponovo jednadžbu y = = x². Ako radite u prstenu cijelih brojeva koji uključuje √2, tada ćete završiti s nekim novim rješenjima, poput x = √2, y = 2. Jednadžba više ne odgovara Turingovom stroju koji izračunava savršene kvadrate – i općenito, diofantinske jednadžbe više ne mogu kodirati problem zaustavljanja.

No 1988. godine, diplomski student na Sveučilištu New York imenovan Sasha shlapentokh Počeo se igrati s idejama kako zaobići ovaj problem. Do 2000. godine ona i drugi formulirali su plan. Reci da ste trebali dodati gomilu dodatnih izraza u jednadžbu poput y = = x² To magično prisilno x Ponovno biti cijeli broj, čak i u drugom sustavu broja. Tada biste mogli spasiti prepisku s Turingovim strojem. Može li se isto učiniti za sve diofantinske jednadžbe? Ako je to slučaj, to bi značilo da bi Hilbertov problem mogao kodirati problem zaustavljanja u novom broju sustava.

Tijekom godina, Shlapentokh i drugi matematičari shvatili su koje su pojmove morali dodati diofantinskim jednadžbama za razne vrste prstenova, što im je omogućilo da pokažu da je Hilbertov problem još uvijek bio neodlučan u tim okruženjima. Potom su srušili sve preostale prstenove cijelih brojeva na jedan slučaj: prstenovi koji uključuju imaginarni broj ja. Matematičari su shvatili da bi se u ovom slučaju uvjeti koje bi morali dodati mogu utvrditi pomoću posebne jednadžbe nazvane eliptična krivulja.

Ali eliptična krivulja morala bi zadovoljiti dva svojstva. Prvo, moralo bi imati beskrajno mnogo rješenja. Drugo, ako ste prešli na drugi prsten cijelih brojeva – ako uklonite imaginarni broj iz svog broja sustava – tada bi sva rješenja na eliptičku krivulju morala održavati istu temeljnu strukturu.

Kako se ispostavilo, izgradnja takve eliptične krivulje koja je radila za svaki preostali prsten bila je izuzetno suptilan i težak zadatak. Ali Koymans i Pagano – preglednici na eliptičnim krivuljama koji su usko surađivali s obzirom na to da su bili u diplomskoj školi – imali su upravo pravi alat koji treba pokušati.

Neprospavane noći

Od svog vremena kao dodiplomskog studija, Koymans je razmišljao o Hilbertovom 10. problemu. Kroz diplomsku školu i tijekom njegove suradnje s Paganom, to je pozvalo. “Proveo sam nekoliko dana svake godine razmišljajući o tome i užasno se zaglavio”, rekao je Koymans. “Pokušao bih s tri stvari i svi bi mi puhali u lice.”

2022. godine, dok su na konferenciji u Banffu u Kanadi i Pagano završili razgovarali o problemu. Nadali su se da zajedno mogu izgraditi posebnu eliptičnu krivulju potrebnu za rješavanje problema. Nakon što su završili neke druge projekte, oni su morali raditi.