Izvorna verzija od ovu priču pojavio u Časopis Quanta.
Zamislite bizarnu vježbu treninga: Grupa trkača počinje trčati oko kružne staze, a svaki trkač održava jedinstveni, konstantni tempo. Hoće li svaki trkač završiti “usamljen” ili relativno daleko od svih ostalih, barem jednom, bez obzira na njihovu brzinu?
Matematičari nagađaju da je odgovor potvrdan.
Problem “usamljenog trkača” može se činiti jednostavnim i beznačajnim, ali pojavljuje se u mnogim oblicima kroz matematiku. Ekvivalentno je pitanjima iz teorije brojeva, geometrije, teorije grafova i više—o tome kada je moguće dobiti jasan vidokrug u polju prepreka, ili gdje se biljarske kugle mogu pomicati na stolu, ili kako organizirati mrežu. “Ima toliko aspekata. Dotiče toliko različitih matematičkih polja”, rekao je Matija Beck Državnog sveučilišta San Francisco.
Za samo dva ili tri trkača, dokaz pretpostavke je elementaran. Matematičari su to dokazali za četiri trkača 1970-ih, a do 2007. dobili su čak do sedam. Ali u protekla dva desetljeća nitko nije uspio napredovati dalje.
Onda prošle godine, Matthieu Rosenfeldmatematičar u Laboratoriju za računalne znanosti, robotiku i mikroelektroniku u Montpellieru, potvrdio je pretpostavku za osam trkača. I u roku od nekoliko tjedana, imenovan je student druge godine dodiplomskog studija na Sveučilištu u Oxfordu Tanupat (Pavao) Trakulthongchai izgrađen na Rosenfeldovim idejama da to dokaže za devet i 10 trkači.
Nagli napredak obnovio je interes za problem. “To je stvarno kvantni skok”, rekao je Beck, koji nije bio uključen u rad. Dodavanje samo jednog trkača čini zadatak dokazivanja pretpostavke “eksponencijalno težim”, rekao je. “Prelazak sa sedam trkača na sadašnjih 10 trkača je nevjerojatan.”
Početna crtica
U početku problem usamljenog trkača nije imao nikakve veze s trčanjem.
Umjesto toga, matematičare je zanimao naizgled nepovezan problem: kako koristiti razlomke za aproksimaciju iracionalnih brojeva kao što je pi, zadatak koji ima golem broj primjena. Šezdesetih godina prošloga stoljeća apsolvent ime Jörg M. Wills pretpostavio da stoljetna metoda za to je optimalan—da ne postoji način da se poboljša.
Godine 1998. grupa matematičara prepisao tu pretpostavku jezikom trčanja. Reći N trkači kreću s istog mjesta na kružnoj stazi duljine 1 jedinice i svaki trči različitom konstantnom brzinom. Willsova pretpostavka jednaka je tvrdnji da će svaki trkač uvijek završiti usamljen u nekom trenutku, bez obzira na brzinu drugih trkača. Točnije, svaki trkač će se u nekom trenutku naći na udaljenosti od najmanje 1/N od bilo kojeg drugog trkača.
Kad je Wills vidio usamljeni trkač, poslao je e-mail jednom od autora, Luis Goddyn sa Sveučilišta Simon Fraser, kako bi mu čestitali na “ovom divnom i poetskom imenu.” (Goddynov odgovor: “Oh, još si živ.”)
Matematičari su također pokazali da je problem usamljenog trkača ekvivalentan još jednom pitanju. Zamislite beskonačan list milimetarskog papira. U sredini svake rešetke postavite mali kvadrat. Zatim počnite od jednog od kutova mreže i nacrtajte ravnu liniju. (Crta može pokazivati u bilo kojem smjeru osim savršeno okomitog ili vodoravnog.) Koliko mogu biti veliki manji kvadratići prije nego što crta udari jedan?
Kako su se verzije problema usamljenog trkača širile u matematici, interes za to pitanje je rastao. Matematičari su dokazali različite slučajeve te pretpostavke koristeći potpuno različite tehnike. Ponekad su se oslanjali na alate iz teorije brojeva; ponekad su se okrenuli geometriji ili teoriji grafova.